Podstawa programowa z matematyki: co trzeba umieć na maturze

1. Korelacja. Ze względu na użyteczność matematyki i jej zastosowania w szkolnym nauczaniu fizyki, informatyki, geografii i chemii zaleca się zrealizować treści nauczania określone w działach: I pkt 9 (logarytmy) i w miarę możliwości V pkt 14, V pkt 1 (pojęcie funkcji) i V pkt 5 (funkcje liniowe) w pierwszym półroczu klasy I, zaś treści nauczania określone w działach: V pkt 11 (funkcje kwadratowe) i V pkt 13 (proporcjonalność odwrotna) nie później niż do końca klasy I. Treści nauczania określone w dziale VI pkt 2 (obliczanie początkowych wyrazów ciągów określonych rekurencyjnie) można realizować w korelacji z analogicznym zagadnieniem podstawy programowej z informatyki.

2. Oznaczenia. Uczniowie powinni używać powszechnie przyjętego oznaczenia zbiorów liczbowych, a w szczególności: dla liczb naturalnych symbolu 𝑁𝑁, dla liczb całkowitych symbolu Z, dla liczb wymiernych symbolu Q, dla liczb rzeczywistych symbolu R. 3. Przedziały. Uczeń powinien wykorzystywać przedziały do opisu zbioru rozwiązań nierówności. Najważniejsza w odpowiedzi jest jej poprawność. Na przykład rozwiązanie nierówności 𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 20 > 0 może być zapisane na każdy z poniższych sposobów:

1) rozwiązaniem nierówności może być każda liczba x, która jest mniejsza od 4 lub większa od 5;

2) rozwiązaniami są wszystkie liczby x, mniejsze od 4 i wszystkie liczby x większe od 5;

3) 𝑥𝑥 < 4 lub 𝑥𝑥 > 5;

4) 𝑥𝑥 ∈ (−∞, 4) lub 𝑥𝑥 ∈ (5, ∞);

5) 𝑥𝑥 ∈ (−∞, 4) ∪ (5, ∞). 4. Zastosowania logarytmów. Przy nauczaniu logarytmów warto podkreślić ich zastosowania w wyjaśnianiu zjawisk przyrodniczych, których przebieg opisuje funkcja logarytmiczna. Procesy takie zachodzą, gdy w przedziale czasowym pewna wielkość zawsze rośnie (lub maleje) ze stałą krotnością. Poniższe przykładowe zadania ilustrują zastosowania logarytmu. Z1. Skala Richtera służy do określenia siły trzęsień ziemi. Siła ta jest opisana wzorem 𝐴𝐴 𝑅𝑅 = log 𝐴𝐴0 , gdzie A oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, A0 = 10-4 cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. 25 kwietnia 2015 r. w Nepalu miało miejsce trzęsienie ziemi o sile 7,8 w skali Richtera. Oblicz amplitudę tego trzęsienia ziemi. Z2. Chory przyjął dawkę 100 mg leku. Masę tego leku pozostałą w organizmie po czasie t określa zależność M (t) = a ⋅ bt . Po pięciu godzinach organizm usuwa 30 % leku. Oblicz, ile leku pozostanie w organizmie chorego po upływie doby. 5. Zastosowanie algebry. Warunkiem powodzenia procesu nauczania matematyki jest sprawne posługiwanie się wyrażeniami algebraicznymi. Metody algebraiczne często dają się stosować w sytuacjach

geometrycznych i na odwrót ilustracja geometryczna pozwala lepiej zrozumieć zagadnienia algebraiczne. 6. Przekształcenia równoważne. W trakcie rozwiązywania równań i nierówności należy zwracać uwagę, że obok metody przekształceń równoważnych można stosować metodę wnioskowania (metoda analizy starożytnych). Po wyznaczeniu potencjalnego zbioru rozwiązań następuje sprawdzenie, które z wyznaczonych wartości istotnie są rozwiązaniami. W wielu sytuacjach nie warto domagać się przekształceń równoważnych, gdy metoda wnioskowania prowadzi do szybkich rezultatów. Ponadto uczniowie powinni wiedzieć, że uprawnioną metodą dowodzenia jest równoważne przekształcanie tezy. 7. Postać kanoniczna. Przy omawianiu funkcji kwadratowej należy podkreślać znaczenie postaci kanonicznej i wynikających z tej postaci własności. Warto zwrócić uwagę, że wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego oraz na współrzędne wierzchołka paraboli, a także pojęcie i własności wyróżnika są jedynie wnioskami z postaci kanonicznej. Wiele zagadnień związanych z funkcją kwadratową daje się rozwiązać bezpośrednio z tej postaci, bez mechanicznego stosowania wzorów. W szczególności postać kanoniczna pozwala znajdować najmniejszą lub największą wartość funkcji kwadratowej, a także oś symetrii jej wykresu. 8. Złożenia funkcji i funkcje odwrotne. Definicja funkcji złożonej pojawia się dopiero w zakresie rozszerzonym, ale już w zakresie podstawowym oczekuje się od ucznia umiejętności operowania równocześnie danymi zaczerpniętymi z kilku źródeł. Nie wymaga to jednak formalnego wprowadzenia operacji złożenia czy odwracania funkcji. 9. Ciągi. Zagadnienie to należy omawiać tak, aby uczniowie zdali sobie sprawę, że poza ciągami arytmetycznymi i geometrycznymi istnieją też inne. Podobnie należy podkreślić, że poza ciągami niemalejącymi, rosnącymi, nierosnącymi, malejącymi i stałymi istnieją też takie, które nie są monotoniczne. Warto zwrócić uwagę uczniów, że niektóre ciągi opisują dynamikę procesów występujących w przyrodzie bądź społeczeństwie, np. szybkość rozprzestrzeniania się plotki (liczba an podaje, ile osób o plotce słyszało).

10. Granica ciągu. Przed sformułowaniem definicji granicy ciągu warto zadawać uczniom pytania w rodzaju: czy istnieje taka liczba naturalna k, że dla każdej liczby naturalnej 1 𝑛𝑛 2 n większej od k zachodzi nierówność 3 < 2𝑛𝑛+1 < 3ǫ Twierdzenie o trzech ciągach wspiera także budowanie intuicji granicy ciągu. Obliczanie granic ciągów warto poprzedzić wykorzystaniem programów komputerowych do rysowania wykresów ciągów. Dokładniejsze obliczenia ułatwią w odpowiednio dobranych przykładach formułowanie hipotez na temat istnienia wartości granicy ciągu. 11. Funkcje trygonometryczne. Funkcje trygonometryczne, oprócz szerokich zastosowań w fizyce, służą do opisu związków miarowych w figurach płaskich oraz bryłach (np. twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów). W wielu sytuacjach dla danego argumentu nie są potrzebne dokładne wartości tych funkcji, tylko ich przybliżenia. Uczniowie powinni umieć korzystać z tablic matematycznych jak i kalkulatora w dwóch celach: wyznaczania przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta oraz określenia kąta, dla którego funkcja trygonometryczna osiąga określoną wartość. 12. Planimetria. Rozwiązywanie klasycznych problemów geometrycznych jest skutecznym sposobem kształtowania świadomości matematycznej. Uczniowie, którzy rozwiązują zadania konstrukcyjne, nabywają przez to wprawy w rozwiązywaniu zadań geometrycznych różnego typu, np. uczeń z łatwością przyswoi własności okręgów wpisanych w trójkąt czy czworokąt, jeśli potrafi skonstruować te figury. Nauczanie konstrukcji geometrycznych można przeprowadzać w sposób klasyczny, za pomocą linijki i cyrkla, można też używać specjalistycznych programów komputerowych, takich jak np. GeoGebra. 13. Dwumian Newtona. Ważne jest, żeby przy okazji nauczania wzoru na (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛 podkreślić znaczenie współczynnika dwumianowego (symbolu Newtona) (𝑛𝑛𝑘𝑘) w kombinatoryce. Warto go również zapisywać w 𝑛𝑛(𝑛𝑛−1)⋅…⋅(𝑛𝑛−𝑘𝑘+2)(𝑛𝑛−𝑘𝑘+1) postaci (𝑛𝑛𝑘𝑘) = 1⋅2⋅…⋅(𝑘𝑘−1)⋅𝑘𝑘 , gdyż w tej formie jest bardziej widoczna jego interpretacja i łatwiej obliczyć jego wartość dla małych k.

14. Rachunek prawdopodobieństwa. Uczniowie w przyszłości będą mieli do czynienia z zagadnieniami powiązanymi z losowością, które występują w różnych dziedzinach życia i nauki, np. przy analizie sondaży, zagadnień z zakresu ekonomii i badaniach rynków finansowych lub w naukach przyrodniczych i społecznych. Warto wspomnieć o paradoksach rachunku prawdopodobieństwa, które pokazują typowe błędy w rozumowaniu, i omówić niektóre z nich. Warto też przeprowadzać z uczniami eksperymenty, np. eksperyment, w którym uczniowie zapisują długi ciąg orłów i reszek bez losowania, a następnie zapisują ciąg orłów i reszek powstały w wyniku losowych rzutów monetą. Błędne intuicje na temat losowości podpowiadają zwykle, że nie powinny pojawiać się długie sekwencje orłów (albo reszek), podczas gdy w rzeczywistości takie długie sekwencje orłów (lub reszek) występują. W zakresie rozszerzonym jest ważne uświadomienie uczniom, że rachunek prawdopodobieństwa nie ogranicza się jedynie do schematu klasycznego i używanej tam kombinatoryki. Dobrą ilustracją są przykłady zastosowania schematu Bernoullego dla dużej liczby prób. 15. Pochodne. Posługiwanie się pojęciem granicy ilorazu różnicowego konieczne do zrozumienia pojęcia pochodnej wymaga dużych możliwości poznawczych. Dlatego też pochodne należy wprowadzać w pierwszej kolejności intuicyjnie, posługując się interpretacją fizyczną (prędkość chwilowa, natężenie prądu) oraz geometryczną (styczna, nachylenie wykresu). Podstawowym zastosowaniem definicji pochodnej może być wyprowadzenie wzoru na pochodną jednomianu i pochodną sumy, iloczynu i złożenia funkcji (gdy funkcja wewnętrzna jest różnowartościowa). Uczniowie powinni też poznać twierdzenie mówiące, że funkcja ciągła na przedziale i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału jest niemalejąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest nieujemna. 16. Dowody. Samodzielne przeprowadzanie dowodów przez uczniów rozwija takie umiejętności, jak: logiczne myślenie, precyzyjne wyrażanie myśli i zdolność rozwiązywania złożonych problemów. Dowodzenie pozwala doskonalić umiejętność dobierania trafnych argumentów i konstruowania poprawnych rozumowań. Jedną z metod rozwijania umiejętności dowodzenia jest analizowanie dowodów poznawanych twierdzeń. Można uczyć w ten sposób, jak powinien wyglądać właściwie przeprowadzony dowód. Umiejętność formułowania poprawnych

rozumowań i uzasadnień jest ważna również poza matematyką. Na poziomie rozszerzonym język matematyczny powinien osiągnąć wyższy stopień sformalizowania. Uczeń powinien poznać dowody następujących twierdzeń. Twierdzenia, dowody – zakres podstawowy:

1) Istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych;

2) Niewymierność liczb: √2, log 2 5 itp.;

3) Wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego;

4) Podstawowe własności potęg (o wykładnikach całkowitych i wymiernych) i logarytmów;

5) Wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego;

6) Twierdzenie o kątach w okręgu:

a) kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku,

b) jeżeli dwa kąty są wpisane w ten sam okrąg, to są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są oparte na równych łukach;

7) Twierdzenie o odcinkach w trójkącie prostokątnym. Jeśli odcinek CD jest wysokością trójkąta prostokątnego ABC o kącie prostym ACB, to |AD| ⋅ |BD| = |CD|2 , |AC|2 = |AB| ⋅ |AD| oraz |BC|2 = |AB| ⋅ |BD|;

8) Twierdzenie o dwusiecznej. Jeśli prosta CD jest dwusieczną kąta ACB w trójkącie ABC i |AD| |AC| punkt D leży na boku AB, to |BD| = |BC|;

9) Wzór na pole trójkąta 𝑃𝑃 = 2 ⋅ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏 ⋅ sin 𝛾𝛾 ;

10) Twierdzenie cosinusów i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenia, dowody – zakres rozszerzony:

1) Dowód kombinatoryczny tożsamości: jeśli 0 < 𝑘𝑘 < 𝑛𝑛, to (𝑛𝑛𝑘𝑘) = (𝑛𝑛−1 𝑘𝑘−1 ) + (𝑛𝑛−1 𝑘𝑘 );

2) Wzór dwumianowy Newtona. Wzory skróconego mnożenia na 𝑎𝑎𝑛𝑛 ± 𝑏𝑏 𝑛𝑛 (przy odpowiednich założeniach o n) oraz jako wniosek: dla liczb całkowitych a i b, (𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)|(𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑏𝑏 𝑛𝑛 );

3) Twierdzenie o dzieleniu z resztą wielomianu przez dwumian postaci 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 wraz ze wzorami rekurencyjnymi na współczynniki ilorazu i resztę (algorytm Hornera) – dowód można przeprowadzić w szczególnym przypadku, np. dla wielomianu czwartego stopnia.

4) Wzory Viète’a;